RAPPELS SUR LES VECTEURS

Objectifs

Définir les notions de scalaire et de vecteur.
Décrire les principales opérations réalisées sur les vecteurs, les coordonnées cartésiennes d'un vecteur et la notion de vecteur-position.
Définir le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs.

Définition et utilisation

Définition

Définition : Définition

Un vecteur est défini par 4 caractéristiques :

Sa droite d'action,
Son point d'application,
Son sens indiqué par une flèche,
Sa longueur, définie par sa norme ou intensité.

Ce vecteur se note de la manière suivante : $Équation en notation Latex : \overrightarrow{AB}$ et se dit : « vecteur AB ».

Utilisation

Utilisation en mécanique appliquée

En mécanique, on utilise les vecteurs dans différentes parties :

En statique, le vecteur en bleu sur le tracteur désigne l'action de la pesanteur sur le tracteur :

Son point d'application est le centre de gravité G,
Sa droite d'action est verticale,
Son sens est vers le bas (attraction terrestre),
Son intensité est égal au poids du tracteur.

Zoom	En cinématique, le vecteur bleu désigne la vitesse de la voiture 1 par rapport à la route 0 : Son point d'application est le centre de gravité G, Sa droite d'action est horizontale, parallèle au sol, Son sens est celui du mouvement, Son intensité est égale à la vitesse de la voiture.

Opérations sur les vecteurs

Addition

Définition : Relation de Chasles

On considère 3 points A, B et C. La relation de Chasles nous permet d'écrire l'égalité vectorielle suivante :

$Équation en notation Latex : \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$

Méthode : Somme de vecteurs

On considère 2 vecteurs $Équation en notation Latex : \overrightarrow{R}$ et $Équation en notation Latex : \overrightarrow{S}$ que l'on veut additionner. Ces deux vecteurs sont des vecteurs quelconques du plan (Figure 1).

Pour réaliser la somme de $Équation en notation Latex : \overrightarrow{R}$ et de $Équation en notation Latex : \overrightarrow{S}$ , il faut les positionner bout à bout (Figure 2). On relie ensuite l'origine du vecteur $Équation en notation Latex : \overrightarrow{R}$ avec l'extrémité du vecteur $Équation en notation Latex : \overrightarrow{S}$ , on obtient alors le vecteur $Équation en notation Latex : \overrightarrow{T}$ (Figure 3). On a la relation suivante :

$Équation en notation Latex : \overrightarrow{R} + \overrightarrow{S} = \overrightarrow{T}$

Soustraction

Définition :

La différence entre les vecteurs $Équation en notation Latex : \overrightarrow{R}$ et $Équation en notation Latex : \overrightarrow{S}$ se ramène à une addition en ajoutant le vecteur opposé (- $Équation en notation Latex : \overrightarrow{S}$ ).

Fondamental :

Multiplication d'un vecteur par un scalaire

Définition :

Les sommes $Équation en notation Latex : (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{A})$ et $Équation en notation Latex : (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{B})$ s'écrivent simplement sous la forme $Équation en notation Latex : 2\overrightarrow{A}$ et $Équation en notation Latex : 3\overrightarrow{B}$ , produit des scalaires 2 et 3 par les vecteurs $Équation en notation Latex : \overrightarrow{A}$ et $Équation en notation Latex : \overrightarrow{B}$ .

De la même façon, on peut écrire $Équation en notation Latex : -3\overrightarrow{F}$ , $Équation en notation Latex : -\frac{1}{4}\overrightarrow{V}$ …

Exemple :

Si $Équation en notation Latex : \overrightarrow{A}$ a pour intensité 100 N, les intensités de $Équation en notation Latex : 0,5\overrightarrow{A}$ , de $Équation en notation Latex : 2,5\overrightarrow{A}$ et de $Équation en notation Latex : -2\overrightarrow{A}$ seront respectivement de 50 N, 250 N et 200 N.

Coordonnées cartésiennes d'un vecteur

Repérage dans le plan

Définition : Coordonnées d'un point

On se place dans le repère (O,x,y). Les coordonnées du point A sont données par les projections de sa position sur les axes x et y :

On écrit alors :

$Équation en notation Latex : A\binom{X_A}{Y_A}$ ou

Définition : Coordonnées d'un vecteur

On considère le repère (O, x, y) et deux points A et B de coordonnées respectives $Équation en notation Latex : A\:\binom{X_A}{Y_A}$ et $Équation en notation Latex : B\:\binom{X_B}{Y_B}$ .

Les coordonnées du vecteur AB s'écrivent :

$Équation en notation Latex : \overrightarrow{AB} \: \binom{X_B - X_A}{Y_B - Y_A}$

On dit que l'on utilise les coordonnées de « l'extrémité » moins les coordonnées de « l'origine » du vecteur.

Définition : Autre façon

Vecteurs unitaires :

Les vecteurs $Équation en notation Latex : \overrightarrow{i}$ , $Équation en notation Latex : \overrightarrow{j}$ et $Équation en notation Latex : \overrightarrow{k}$ sont des vecteurs unitaires d'intensité égale à 1.

$Équation en notation Latex : \overrightarrow{i}$ , $Équation en notation Latex : \overrightarrow{j}$ et $Équation en notation Latex : \overrightarrow{k}$ sont les vecteurs de base du repère orthonormé (O, x, y ,z)

Remarque : les vecteurs unitaires des axes x, y et z sont parfois notés $Équation en notation Latex : \overrightarrow{x}$ , $Équation en notation Latex : \overrightarrow{y}$ e t $Équation en notation Latex : \overrightarrow{z}$

Dans le plan, le vecteur $Équation en notation Latex : \overrightarrow{V}$ a deux coordonnées $Équation en notation Latex : \overrightarrow{V_x}$ et $Équation en notation Latex : \overrightarrow{V_y}$

$Équation en notation Latex : \overrightarrow{V} = \overrightarrow{V_x} + \overrightarrow{V_y}$

$Équation en notation Latex : \overrightarrow{V} = {V_x}.\overrightarrow{i} + {V_y}.\overrightarrow{j}$

Calculs dans le plan

Méthode : Calcul de la norme

La norme d'un vecteur représente sa « longueur », elle s'écrit $Équation en notation Latex : \left\|AB \right\|$ pour le vecteur AB. Elle se calcule de la manière suivante :

$Équation en notation Latex : \left\|AB \right\|$ = $Équation en notation Latex : \sqrt{(X_B-X_A)^2 + (Y_B-Y_A)^2}$

Zoom	Ici on a : $Équation en notation Latex : \left\\|\overrightarrow{V}\right\\| = V = \sqrt{V^2_x + V^2_y}$ $Équation en notation Latex : V_x = Vcos \theta$ $Équation en notation Latex : V_y = Vsin \theta$ Direction : $Équation en notation Latex : tan \theta = \frac{V_y}{V_x}$

Exemple : Exemple

Déterminons le module et la direction du vecteur $Équation en notation Latex : \overrightarrow{F}$ ayant pour coordonnées cartésiennes 4 suivant x et 3 suivant y.

$Équation en notation Latex : \overrightarrow{F} = 4 \overrightarrow{i} + 3 \overrightarrow{j}$

$Équation en notation Latex : tan \theta = \frac{F_y}{F_x} = \frac{3}{4} = 0,75$

$Équation en notation Latex : \overrightarrow{F}$ a un angle $Équation en notation Latex : \theta$ = 36,87° par rapport à (O, x)

Intensité ou norme :

$Équation en notation Latex : \left\| \overrightarrow{F}\right\| = F = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$

Remarque :

$Équation en notation Latex : F_x = F cos \theta = 5cos36,87 = 4$

$Équation en notation Latex : F_y = F sin \theta = 5sin36,87 = 3$

Produit scalaire de deux vecteurs

Définition

Définition :

Le produit scalaire du vecteur $Équation en notation Latex : \overrightarrow{A}$ par le vecteur $Équation en notation Latex : \overrightarrow{B}$ , noté $Équation en notation Latex : \overrightarrow{A}.\overrightarrow{B}$ , est égal au produit des modules des deux vecteurs multiplié par le cosinus de l'angle $Équation en notation Latex : (\theta)$ entre leurs directions respectives.

$Équation en notation Latex : \overrightarrow{A}.\overrightarrow{B}= A.B.cos\theta = \left\| \overrightarrow{A}\right\|.\left\|\overrightarrow{B} \right\|.cos\theta = \overrightarrow{B}.\overrightarrow{A}$

Si :

$Équation en notation Latex : \overrightarrow{A} = A_x.\overrightarrow{i}+A_y.\overrightarrow{j}+A_z.\overrightarrow{k}$

$Équation en notation Latex : \overrightarrow{B} = B_x.\overrightarrow{i}+B_y.\overrightarrow{j}+B_z.\overrightarrow{k}$

$Équation en notation Latex : \overrightarrow{A}.\overrightarrow{B} = A_x.B_x+A_y.B_y+A_z.B_z$

Remarque :

Le produit des deux vecteurs est un nombre ou un scalaire et pas un autre vecteur.

Si $Équation en notation Latex : \overrightarrow{A}$ et $Équation en notation Latex : \overrightarrow{B}$ sont perpendiculaires ( $Équation en notation Latex : \theta = 90^\circ$ ), alors $Équation en notation Latex : \overrightarrow{A}.\overrightarrow{B} = A.B.cos90^\circ = 0$ .

Le produit scalaire est commutatif : $Équation en notation Latex : \overrightarrow{A}.\overrightarrow{B} = \overrightarrow{B}.\overrightarrow{A}$ .

Exemple : Exemple d'un produit scalaire

$Équation en notation Latex : \overrightarrow{A} = 4 \overrightarrow{i} + 4 \overrightarrow{j}$

$Équation en notation Latex : \overrightarrow{B} = 7 \overrightarrow{i} -3 \overrightarrow{j}$

$Équation en notation Latex : \overrightarrow{A}.\overrightarrow{B} = (4\times7) - (4\times3) = 16$

Remarque :

$Équation en notation Latex : A = \sqrt{4^2+4^2} = 5,66$

$Équation en notation Latex : B = \sqrt{7^2+3^2} = 7,62$

$Équation en notation Latex : \theta = 45^\circ + 23,2^\circ = 68,2^\circ$

$Équation en notation Latex : \overrightarrow{A}.\overrightarrow{B} = 5,66 \times 7,62 \times cos 68,2^\circ = 16$

Produit vectoriel de deux vecteurs

Définition

Définition :

Le produit vectoriel du vecteur $Équation en notation Latex : \overrightarrow{A}$ par le vecteur $Équation en notation Latex : \overrightarrow{B}$ , noté $Équation en notation Latex : \overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ , est un vecteur $Équation en notation Latex : \overrightarrow{C}$ perpendiculaire au plan $Équation en notation Latex : (\overrightarrow{A},\overrightarrow{B})$ et tel que :

$Équation en notation Latex : \overrightarrow{A}\wedge\overrightarrow{B} = \overrightarrow{C} = A.B sin\theta$ avec $Équation en notation Latex : \left\| \overrightarrow{C}\right\| = A.B sin\theta$

Remarque :

Si $Équation en notation Latex : \overrightarrow{A}$ et $Équation en notation Latex : \overrightarrow{B}$ sont parallèles, alors $Équation en notation Latex : \overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B} = \overrightarrow{0}$

Calcul en coordonnées cartésiennes

Si $Équation en notation Latex : \overrightarrow{A} = A_x.\overrightarrow{i} + A_y.\overrightarrow{j} + A_z.\overrightarrow{k}$

et $Équation en notation Latex : \overrightarrow{B} = B_x.\overrightarrow{i} + B_y.\overrightarrow{j} + B_z.\overrightarrow{k}$

$Équation en notation Latex : \overrightarrow{A}\wedge\overrightarrow{B} = (A_y.B_z - A_z.B_y)\overrightarrow{i} + (A_z.B_x - A_x.B_z)\overrightarrow{j} + (A_x.B_y - A_y.B_x)\overrightarrow{k}$

RAPPELS SUR LES VECTEURS

Objectifs

Définition et utilisation

Définition

Définition : Définition

Utilisation

Utilisation en mécanique appliquée

Opérations sur les vecteurs

Addition

Définition : Relation de Chasles

Méthode : Somme de vecteurs

Soustraction

Définition :

Fondamental :

Multiplication d'un vecteur par un scalaire

Définition :

Exemple :

Coordonnées cartésiennes d'un vecteur

Repérage dans le plan

Définition : Coordonnées d'un point

Définition : Coordonnées d'un vecteur

Définition : Autre façon

Calculs dans le plan

Méthode : Calcul de la norme

Exemple : Exemple

Produit scalaire de deux vecteurs

Définition

Définition :

Remarque :

Exemple : Exemple d'un produit scalaire

Produit vectoriel de deux vecteurs

Définition

Définition :

Remarque :

Calcul en coordonnées cartésiennes

Méthode : Principe de détermination à partir des produits en croix

Exemple :